Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Некоторые базовые сведения по основным математическим операциям

К оглавлению...

Правила умножения и деления отрицательных и положительных чисел:

  • При умножении или делении двух положительных чисел в результате получается положительное число.
  • При умножении или делении двух отрицательных чисел в результате получается положительное число.
  • При умножении или делении одного положительного, а другого отрицательного числа (в любой последовательности) в результате получается отрицательное число.

Основное свойство дроби: числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одинаковое число, неравное нулю, при этом величина дроби не изменится. В случае если мы делим числитель и знаменатель на некоторое число, то такая процедура называется сокращением дроби. Умножение числителя и знаменателя на одинаковое число обычно используется для приведения нескольких дробей к одинаковому (общему) знаменателю. Заметим, что в записи обыкновенной дроби (т.е. в дроби с чертой): числитель вверху, а знаменатель внизу.

Наименьший (наилучший) общий знаменатель дробей – это самое маленькое из чисел, которое делится на все знаменатели исходных дробей.

При выполнении сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо выполнить сложение или вычитание числителей этих дробей, и результат этой операции записать в числитель, а знаменатель переписать исходный. Если необходимо сложить или вычесть дроби с различными знаменателями, то их сначала нужно привести к общему знаменателю, а затем выполнить сложение дробей с одинаковым знаменателем.

Для преобразования дроби с целой частью в неправильную дробь можно использовать следующее правило: умножаем целую часть на знаменатель и к данному произведению прибавляем числитель. Результат записываем в числителе неправильной дроби, а знаменатель оставляем без изменения.

Для обратного преобразования неправильной дроби в правильную с целой частью проделывают следующее: Сначала делят числитель на знаменатель. При делении большего числа на меньшее, получается целое число (целая часть) и остаток. Целую часть записывают перед дробью, остаток деления записывают в числитель, а знаменатель не изменяют.

Для умножения дробей применяют следующее правило (произведение числителей записывают в числителе, а знаменателей - в знаменателе), при этом обе дроби должны быть приведены к неправильному виду, т.е. у них не должна быть выделена целая часть.

Формула Умножение дробей

Деление дробей выполняется при помощи замены деления на умножение. А именно: дробь на которую делят (вторую дробь), переворачивают, меняя числитель и знаменатель местами, а вместо знака деления ставится знак умножение. Затем выполняют умножение обычным образом. Дроби опять таки должны быть без целой части. Это правило можно записать в виде формулы:

Формула Деление дробей

При делении дроби на число, надо представить число в виде дроби со знаменателем 1, а затем выполнить обычное деление дробей пользуясь предыдущим свойством. Данное правило также можно представить в виде формулы:

Формула Деление дроби на число

Если знак деления (две точки) заменен на еще одну черту дроби, то чтобы выполнить операцию деления дроби на число, просто нужно выполнить обратную замену, а далее действовать как обычно:

Формула Деление дроби на число

При делении числа на дробь нужно действовать аналогично, т.е. заменять число на дробь с единичным знаменателем, а далее выполнять стандартные действия обычным образом. Запишем правила деления числа на дробь в виде формул:

Формула Деление числа на дробь

Формула Деление числа на дробь

Для того чтобы умножить число на сумму в скобках или наоборот необходимо данное число умножить на каждое слагаемое в скобках и результаты сложить. Это правило справедливо для любого количества слагаемых в скобке. В виде формул это правило можно записать следующим образом:

Формула Умножение числа на скобку

Формула Умножение числа на скобку

Формула Умножение числа на скобку

Для того чтобы умножить скобку на скобку нужно каждое слагаемое из первой скобки умножить на каждое слагаемое из второй скобки и результаты сложить. Это правило также справедливо при любом количестве слагаемых в скобках. Запишем в виде формулы пример такой операции:

Формула Умножение скобки на скобку

Если при умножении скобки на число или при умножении скобки на скобку в одной из скобок встретятся минусы, то нужно просто рассматривать каждое число вместе со знаком, который стоит перед ним, и аккуратно выполнять умножение и дальнейшее суммирование по всем правилам.

Выполняя обычные вычисления с большим количеством действий:

  • сначала выполняют операции в скобках;
  • затем считают произведения и/или деления;
  • потом суммируют или вычитают;
  • и в последнюю очередь, если это была многоэтажная дробь, делят уже полностью упрощенный числитель на тоже полностью упрощенный знаменатель.

Причем выполняя в первую очередь операции в скобках также соблюдают ту же последовательность, сначала произведения или деления внутри скобок, потом суммирование или вычитание в скобках, а если внутри скобки есть другая скобка то действия в ней выполняются прежде всего.

Одночленом называется произведение какого-нибудь отрицательного или положительного числа на одну или несколько переменных в разных степенях. Многочленом называется сумма (или разность) одночленов.

Подобными слагаемыми в многочлене называются такие слагаемые-одночлены у которых полностью повторяется комбинация переменных и их степеней, при этом числа у этих одночленов могут быть разными. Таким образом, подобные слагаемые многочлена являются такими одночленами, которые можно сложить, обычно это нужно сделать, а процедуру сложения всех видов подобных слагаемых называют приведением подобных слагаемых.

Решение простейшего линейного уравнения выглядит следующим образом:

Формула Решение простейшего линейного уравнения

Алгоритм решения линейных уравнений:

  • Раскрыть все скобки.
  • Все слагаемые с переменной перенести налево от знака равно, а все слагаемые без переменной направо от знака равно, не забывая менять знаки перед слагаемыми при переносе.
  • Привести все подобные слагаемые слева и справа. Получим уравнение вида: ax = b.
  • Найти ответ делением, как: x = b/a.

При решении линейных неравенств есть только одна большая фишка: необходимо менять знак неравенства при делении (или умножении) неравенства на отрицательное число. Менять знак неравенства значит изменять знак "меньше" на знак "больше" или наоборот. При этом знаки плюс на минус в обход ранее изученных математических правил нигде менять не надо. Если мы делим или умножаем неравенство на положительное число знак неравенства менять не нужно. В остальном решение линейных неравенств полностью идентично решению линейных уравнений.

Основное свойство пропорции:

Формула Основное свойство пропорции

 

Формулы сокращенного умножения

К оглавлению...

При выполнении различных алгебраических преобразований часто удобно пользоваться формулами сокращенного умножения. Зачастую эти формулы применяются не столько для того чтобы сократить процесс умножения, а наоборот скорее для того, чтобы по результату понять, что его можно представить как произведение некоторых множителей. Таким образом, данные формулы нужно уметь применять не только слева направо, но и справа налево. Перечислим основные формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы:

Формула Квадрат суммы

Квадрат разности:

Формула Квадрат разности

Разность квадратов:

Формула Разность квадратов

Разность кубов:

Формула Разность кубов

Сумма кубов:

Формула Сумма кубов

Куб суммы:

Формула Куб суммы

Куб разности:

Формула Куб разности

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

Формула Куб суммы

Формула Куб разности

 

Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители

К оглавлению...

Пусть квадратное уравнение имеет вид:

Формула Квадратное уравнение

Тогда дискриминант находят по формуле:

Формула Дискриминант

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формулам:

Формула Корни квадратного уравнения

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:

Формула Единственный корень квадратного уравнения

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:

Формула разложения квадратного трехчлена на множители

Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой (обратите внимание, что скобка в квадрате):

Формула разложения квадратного трехчлена с единственным корнем на множители

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Формула Сумма корней квадратного уравнения

Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:

Формула Произведение корней квадратного уравнения

 

Парабола

К оглавлению...

График параболы задается квадратичной функцией:

Формула Квадратичная функция

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x1; 0) и (x2; 0). Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x0; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c). График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

Квадратичная функция или Парабола

При этом:

  • если коэффициент a > 0, в функции y = ax2 + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;
  • если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Формула Икс вершины параболы

Игрек вершины параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

Формула Игрек вершины параболы

 

Основные свойства степеней

К оглавлению...

Формальное определение натуральной степени можно дать с помощью следующей записи:

Формула Определение степени

У математических степеней есть несколько важных свойств, перечислим их. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

Формула Основные свойства степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя:

Формула Основные свойства степеней

При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

Формула Основные свойства степеней

Если перемножаются числа с одинаковой степенью, но разным основанием, то можно сначала перемножить числа, а затем произведение возвести в эту степень. Обратная процедура также возможна, если имеется произведение в степени, то можно каждое из умножаемых возвести в эту степень по отдельности а результаты перемножить:

Формула Основные свойства степеней

Также, если делятся числа с одинаковой степенью, но разным основанием, то можно сначала поделить числа, а затем частное возвести в эту степень (обратная процедура также возможна): 

Формула Основные свойства степеней

Несколько простых свойств степеней:

  • Любое число в нулевой степени даёт единицу.
  • Любое число в первой степени равно самому себе.
  • Единица в любой степени равна единице.

Формула Основные свойства степеней

  • Ноль в любой положительной (n > 0) степени равен нолю. Запомните: ноль нельзя возводить в отрицательную или нулевую степень.

Формула Основные свойства степеней

Основное свойство отрицательной степени записывается следующим образом:

Формула Свойство отрицательной степени

 

Основные свойства математических корней

К оглавлению...

Математический корень можно представить в виде обычной степени, а затем пользоваться всеми свойствами степеней приведёнными выше. Для представления математического корня в виде степени используют следующую формулу:

Формула Представление корня в виде степени

Квадратным корнем называется математический корень второй степени:

Формула Квадратный корень

Квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа. При этом значение квадратного корня также всегда неотрицательно:

Формула Свойство квадратного корня

Для квадратного корня существует два важных свойства, которые важно не путать:

Формула Свойство квадратного корня

Формула Свойство квадратного корня

Если под корнем стоит несколько множителей, то корень можно извлекать из каждого из них по-отдельности. При этом важно понимать, что каждый из этих множителей по-отдельности (а не только их произведение) должны быть неотрицательными:

Формула Свойство квадратного корня

Кроме того, нужно отметить, что если используется запись со значком математического корня, то показатель степени этого корня может быть только целым числом, причем это число должно быть больше либо равно двум:

Формула Свойство записи математического корня

 

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

 

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (адрес электронной почты и ссылки в социальных сетях здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.