Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Треугольник

К оглавлению...

При решении задач по геометрии помимо всех геометрических формул и свойств, которые будут приведены ниже, нужно очень хорошо помнить основные формулы по тригонометрии. Укажем для начала несколько основных свойств различных типов углов:

  • Смежные углы в сумме равны 180 градусов.
  • Вертикальные углы равны между собой.

Теперь перейдем к свойствам треугольника. Пусть имеется произвольный треугольник:

Произвольный треугольник

Тогда, сумма углов треугольника:

Формула Сумма углов треугольника

Запомните также, что сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Формула Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Формула Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Полупериметр треугольника

Формула Герона для площади треугольника:

Формула Герона для площади треугольника

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула Площадь треугольника через радиус описанной окружности

Формула медианы (медиана - линия проведенная через некоторую вершину и середину противоположной стороны в треугольнике):

Формула медианы

Свойства медиан:

  • Все три медианы пересекаются в одной точке.
  • Медианы  делят  треугольник  на  шесть  треугольников  одинаковой  площади.
  • В точке пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершин.

Свойство биссектрисы (биссектриса - линия, которая делит некоторый угол на два равных угла, т.е. пополам):

Формула Свойство биссектрисы

Важно знать: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (все три биссектрисы пересекаются в этой одной точке). Формулы биссектрисы:

Формула биссектрисы

Формула биссектрисы

Основное свойство высот треугольника (высота в треугольнике - линия проходящая через некоторую вершину треугольника перпендикулярно противоположной стороне):

Формула Основное свойство высот треугольника

Все три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Положение точки пересечения определяется типом треугольника:

  • Если треугольник остроугольный, то точка пересечения высот находится внутри треугольника.
  • В прямоугольном треугольнике высоты пересекаются в вершине прямого угла.
  • Если треугольник тупоугольный, то точка пересечения высот находится за пределами треугольника.

Формула высоты:

Формула высоты

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Формула Свойство высот треугольника

Теорема косинусов:

Формула Теорема косинусов

Теорема синусов:

Формула Теорема синусов

Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении посерединных перпендикуляров. Все три посерединных перпендикуляра пересекаются в одной этой точке. Посерединный перпендикуляр - линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Формула Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Формула Радиус окружности, описанной около правильного треугольника

Площадь правильного треугольника:

Формула Площадь правильного треугольника

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c - гипотенуза, a и b - катеты):

Формула Теорема Пифагора

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Формула Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Формула Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника (h - высота опущенная на гипотенузу):

Формула Площадь прямоугольного треугольника

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Формула Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника

Формула Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника

Формула Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника

Подобные треугольники - треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т.п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников - стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия - число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников:

  • По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
  • По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
  • По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

 

Трапеция

К оглавлению...

Трапеция - четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Длина средней линии трапеции:

Формула Длина средней линии трапеции

Площадь трапеции:

Формула Площадь трапеции

Некоторые свойства трапеций:

  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
  • Отрезок,  соединяющий  середины  диагоналей  трапеции,  равен  полуразности  оснований.
  • В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой.
  • Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Треугольники, сторонами которых являются основания - подобны, а треугольники, сторонами которых являются боковые стороны - равновелики.
  • Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90 градусов, то отрезок соединяющий середины оснований равен полуразности оснований.
  • У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
  • У равнобедренной трапеции диагонали равны.
  • В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований.

 

Параллелограмм

К оглавлению...

Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Формула Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Формула Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними

Некоторые свойства параллелограмма:

  • Противоположные стороны параллелограмма равны.
  • Противоположные углы параллелограмма равны.
  • Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
  • Сумма всех углов параллелограмма равна 360 градусов.
  • Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.

 

Квадрат

К оглавлению...

Квадрат - четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны по 90 градусов. Площадь квадрата через длину его стороны:

Формула Площадь квадрата через длину его стороны

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Формула Площадь квадрата через длину его диагонали

Свойства квадрата – это все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника одновременно.

 

Ромб и прямоугольник

К оглавлению...

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь ромба (первая формула - через две диагонали, вторая - через длину стороны и угол между сторонами):

Формула Площадь ромба

Свойства ромба:

  • Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны.
  • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
  • Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Формула Площадь прямоугольника через две смежные стороны

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Прямоугольник является параллелограммом - его противоположные стороны параллельны.
  • Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
  • Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора).
  • Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

 

Произвольные фигуры

К оглавлению...

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Формула Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Формула Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности

Обобщённая теорема Фалеса: Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника

Сумма углов n-угольника:

Формула Сумма углов n-угольника

Центральный угол правильного n-угольника:

Формула Центральный угол правильного n-угольника

Площадь правильного n-угольника:

Формула Площадь правильного n-угольника

 

Окружность

К оглавлению...

Свойство касательных:

Свойство касательных

Свойство хорды:

Свойство хорды

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Формула Теорема о пропорциональных отрезках хорд

Теорема о касательной и секущей:

Формула Теорема о касательной и секущей

Теорема о двух секущих:

Формула Теорема о двух секущих

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Формула Теорема о центральном и вписанном углах

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство вписанных углов

Свойство центральных углов и хорд:

Формула Свойство центральных углов и хорд

Свойство центральных углов и секущих:

Формула Свойство центральных углов и секущих

Длина окружности:

Формула Длина окружности

Длина дуги окружности:

Формула Длина дуги окружности

Площадь круга:

Формула Площадь круга

Площадь сектора:

Формула Площадь сектора

Площадь кольца:

Формула Площадь кольца

Площадь кругового сегмента:

Формула Площадь кругового сегмента

 

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

 

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (адрес электронной почты и ссылки в социальных сетях здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.