Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к выполнению тригонометрических преобразований

К оглавлению...

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

  1. Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
  2. Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
  3. Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
  4. Верьте, что всё будет хорошо.

 

Основные тригонометрические формулы

К оглавлению...

Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Прямоугольный треугольник

Тогда, определение синуса:

Формула Определение синуса

Определение косинуса:

Формула Определение косинуса

Определение тангенса:

Формула Определение тангенса

Определение котангенса:

Формула Определение котангенса

Основное тригонометрическое тождество:

Формула Основное тригонометрическое тождество

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формула Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества

Формула Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества

Формулы двойного угла. Синус двойного угла:

Формула Синус двойного угла

Косинус двойного угла:

Формула Косинус двойного угла

Тангенс двойного угла:

Формула Тангенс двойного угла

Котангенс двойного угла:

Формула Котангенс двойного угла

 

Дополнительные тригонометрические формулы

К оглавлению...

Тригонометрические формулы сложения. Синус суммы:

Формула Синус суммы

Синус разности:

Формула Синус разности

Косинус суммы:

Формула Косинус суммы

Косинус разности:

Формула Косинус разности

Тангенс суммы:

Формула Тангенс суммы

Тангенс разности:

Формула Тангенс разности

Котангенс суммы:

Формула Котангенс суммы

Котангенс разности:

Формула Котангенс разности

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Формула Сумма синусов

Разность синусов:

Формула Разность синусов

Сумма косинусов:

Формула Сумма косинусов

Разность косинусов:

Формула Разность косинусов

Сумма тангенсов:

Формула Сумма тангенсов

Разность тангенсов:

Формула Разность тангенсов

Сумма котангенсов:

Формула Сумма котангенсов

Разность котангенсов:

Формула Разность котангенсов

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

Формула Произведение синусов

Произведение синуса и косинуса:

Формула Произведение синуса и косинуса

Произведение косинусов:

Формула Произведение косинусов

Формулы понижения степени. Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для синуса

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для косинуса

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для тангенса

Формула понижения степени для котангенса:

Формула понижения степени для котангенса

Формулы половинного угла. Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для тангенса

Формула половинного угла для котангенса:

Формула половинного угла для котангенса

 

Тригонометрические формулы приведения

К оглавлению...

Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

  • Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
  • Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
  • При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

Таблица Тригонометрические формулы приведения

 

Тригонометрическая окружность

К оглавлению...

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Тригонометрическая окружность

 

Тригонометрические уравнения

К оглавлению...

Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

  • Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
  • Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения, привести дроби к общему знаменателю и так далее.
  • При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки. При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали.
  • Применяя метод замены переменной, как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
  • Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
  • Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
  • Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Формула Решение простейшего тригонометрического уравнения для синуса

Формула Решение простейшего тригонометрического уравнения для синуса

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Формула Решение простейшего тригонометрического уравнения для косинуса

Для тангенса:

Формула Решение простейшего тригонометрического уравнения для тангенса

Для котангенса:

Формула Решение простейшего тригонометрического уравнения для котангенса

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Формула Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях

Формула Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях

Формула Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях

Формула Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях

Формула Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях

Формула Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях

Формула Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях

Формула Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях

 

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

 

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (адрес электронной почты и ссылки в социальных сетях здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.