Оглавление:
Основные теоретические сведения
Виды чисел
Натуральными числами называются числа, используемые для счета предметов. Натуральные числа – это целые положительные числа 1, 2, 3, 4, 5… Важно, что число 0 не является натуральным. Множество натуральных чисел обозначается N.
Целыми числами называются числа, которые можно получить из натуральных путем сложения, вычитания и умножения. Множество целых чисел обозначается Z. Множество целых чисел больше, чем множество натуральных чисел. Это значит, что если число является натуральным, то оно гарантированно является целым, но не наоборот. Целое число не обязательно натуральное.
Рациональными числами называются числа, представляемые обыкновенной дробью вида m/n, где в числителе и знаменателе стоят целые числа. Множество рациональных чисел обозначается Q. Множество рациональных чисел больше, чем множество целых чисел. Это значит, что если число является целым, то оно гарантированно является рациональным, но не наоборот. Рациональное число не обязательно целое.
Иррациональными числами называются числа, которые нельзя представить обыкновенной дробью вида вида m/n, где в числителе и знаменателе стоят целые числа. Иррациональные числа это, например, корни их "плохих" чисел. Множество иррациональных чисел обозначается J.
Действительными числами называются все рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается R. Множество действительных чисел больше, чем множества натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел.
Простыми числами называются натуральные числа, которые делятся нацело только на 1 и на себя. Последовательность простых числе начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13… Важно, что число 1 не является простым. Среди простых чисел есть единственное четное число, 2. Все остальные простые числа – нечетные.
Составными числами называются натуральные числа, которые не являются простыми. Важно, что число 1 не является составным. Любое составное число можно разложить на произведение простых чисел, причем единственным способом. В этом разложении полученные простые числа называются простыми множителями.
Взаимно простыми числами называются целые числа, которые не имеют общих целых делителей, кроме 1 и –1. Например, числа 14 и 25 взаимно простые, а числа 15 и 25 – нет, так как у них есть общий делитель 5.
Противоположными числами называются числа, дающие в сумме 0. Например, противоположными числами являются 5 и –5.
Обратными числами называются числа, дающие в произведении 1. Например, обратными числами являются 5 и 1/5.
Записать число в стандартном виде означает так перенести запятую, чтобы перед ней стояла только одна цифра (не ноль) и умножить его на 10 в некоторой степени. Формула числа, записанного в стандартном виде:
Делимость чисел, НОД и НОК
Признаки делимости чисел:
- Число делится на 2, если оно четное. Например, число 1884 делится на 2, так как оно четное.
- Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Например, число 16482 делится на 3, так как сумма его цифр 1+6+4+8+2=21 делится на 3.
- Число делится на 4, если число, составленное из двух его последних цифр, делится на 4. Например, число 42852 делится на 4, так как число 52 делится на 4.
- Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 или на 0. Например, число 53165 делится на 5, так как заканчивается на 5.
- Число делится на 6, если оно одновременно делится на 2 и на 3, то есть оно четное, и сумма его цифр делится на 3. Например, число 27366 делится на 6, так как оно четное, а сумма его цифр 2+7+3+6+6=24 делится на 3.
- Число делится на 7, если утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7. Например, число 1001 делится на 7, так как в нем 100 десятков, а число 3х100+1=301 делится на 7. Почему? Потому что в нем 30 десятков, а число 3х30+1=91 делится на 7. Почему? Потому что в нем 9 десятков, а число 3х9+1=28 делится на 7.
- Число делится на 8, если число, составленное из трех его последних цифр, делится на 8. Например, число 851208 делится на 8, так как число 208 делится на 8.
- Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, число 19765242 делится на 9, так как сумма его цифр 1+9+7+6+5+2+4+2=36 делится на 9.
- Число делится на 10, если оно заканчивается на 0. Например, число 13287654810 делится на 10.
- Число делится на 11, если сумма его цифр, стоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, или эти суммы отличаются на 11, 22, 33… Например, число 81752 делится на 11, так как сумма его цифр, стоящих на нечетных местах, равна 8+7+2=17, а сумма цифр, стоящих на четных местах, равна 1+5=6. Числа 17 и 6 отличаются на 11.
Наименьшим общим кратным (НОК) двух целых чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится без остатка на оба этих числа. Обозначается НОК(m; n). Например, НОК(16; 20) = 80.
Наименьшим общим кратным (НОК) нескольких целых чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится без остатка на все эти числа.
Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел называется наибольший из их общих делителей. Обозначается НОД(m; n). Например, НОД(16; 20) = 4.
Для отыскания НОК и НОД двух чисел необходимо разложить каждое из чисел на простые множители. Далее найти повторяющиеся множители. Тогда НОК будет равно произведению всех простых множителей каждого из чисел, взятых в том количестве, в котором они встречаются в разложении каждого числа наибольшее количество раз. НОД будет равен произведению всех простых делителей, являющихся общими для каждого из чисел.
Правила округления
Основное правило округления. При округлении необходимо записать число в виде десятичной дроби и округлить с необходимой точностью, соблюдая правило: если первая округляемая цифра числа равна или больше 5, то число округляется в большую сторону. Если первая округляемая цифра числа меньше 5, то число округляется в меньшую сторону.
Дополнительные способы округления:
- Если требуется округлить число с избытком, то оно округляется в большую сторону, невзирая на основное правило.
- Если требуется округлить число с недостатком, то оно округляется в меньшую сторону, невзирая на основное правило.
Текстовые задачи на движение и работу
Важнейшими величинами, описывающими движение, являются путь L, скорость v и время t. Они связаны друг с другом формулой:
При использовании этой формулы не забывайте приводить все величины к однотипным единицам измерения. Например, если скорость в задаче измеряется в км/ч, то путь следует измерять в километрах, а время – в часах. При переводе Вы, конечно, помните, что 1 час составляет 60 минут или 3600 секунд. А в одном метре 10 дециметров, 100 сантиметров или 1000 миллиметров. В одном километре 1000 метров.
В задачах на движение нужно учитывать следующие замечания:
- Во-первых, если тела встречаются, то надо догадаться, что в момент встречи они находятся в одной точке пространства.
- Во-вторых, если тела начали двигаться одновременно, то времена их движения одинаковы. А если одно из тел начало двигаться на, скажем, 1 час позже второго, то время движения второго тела равно t, а время движения первого тела равно (t–1), так как оно стало двигаться позже, следовательно, движется в течение меньшего времени.
Важнейшими величинами, описывающими работоспособность, являются работа A, производительность P и время t. Они связаны друг с другом формулой:
При использовании этой формулы не забывайте приводить все величины к однотипным единицам измерения. Например, если производительность станка в задаче измеряется в деталях в час, то работу следует измерять в деталях, а время – в часах. Если производительность измеряется в килограммах в день, то работу надо переводить в килограммы, а время – в дни.
В задачах на совместную работу нужно учитывать следующие замечания:
- Во-первых, если работники совершают работу одновременно, то их производительности суммируются, а
совершенные работы дают в сумме общую работу. - Во-вторых, если работники начали работать одновременно, то времена их работы одинаковы. А если один из работников начало работать на, скажем, 1 час позже второго, то время работы второго работника равно t, а время работы первого работника равно (t–1), так как он стал работать позже, следовательно, движется в течение меньшего времени.
- Часто, если объем работы явно не указан, можно принимать ее за условную единицу.
Проценты
Процент – это одна сотая часть от числа. Например, 1 – это 1% от 100. Часто в задачах бывает удобно перевыражать данные нам в процентах величины в долях. Так, например, 20% от некоторой величины – это двадцать сотых, или две десятых, т.е. 0,2 от той же величины. Или 73% - это 0,73. И так далее. Также важно понимать, например, что если некоторую величину уменьшили на 24%, то это значит, что от нее осталось 76% или 0,76 от начальной величины. Если величину увеличили, скажем на 32% это значит, что в итоге она составила 132% или 1,32 от начального значения.